來源：iStructure微信公眾號
懸臂梁在端部集中力作用下的力流
在靜力學領域，結構是要將力傳遞到目的地，即結構工程師通過材料的組裝引導力流的傳遞。
力流從一個點傳遞到另一個點，可選的路徑很多。那么，沿哪條路徑傳遞才是最優的呢？或者怎樣判斷結構效率的高低？這是本文要討論的問題。
首先看一個概念——“應變能”。
應變能
應變能是什么？我們從兩個角度看。
從結構外部看，外力所做的功以應變能的形式存儲于結構內，結構的應變能等于外力與結構變形的乘積。
式中：C為結構的應變能；P為結構所受外力；U為結構在外力P處的變形。
（1）式可以寫為：
其中，1/U為結構剛度，假設荷載是一個常量，則應變能C越小，表示結構的剛度越大。因此，在相同荷載下，應變能最小表示該結構剛度最大。
從結構內部看，應變能是應變能密度對體積的積分。
c為應變能密度，應變能密度定義如下：
式中：σ為應力，ε為應變，λ為應力比。
式（3）可改寫為下式：
應力比代表結構的應力水平，而結構所用材料的體積即為結構的材料用量。因此，由式（5）可見，應變能反映的是應力比水平與材料用量之間的一個關系。
在材料用量一定的情況下，結構應變能越小，表示應力比水平越低；在應力比水平一定的情況下，結構應變能越小，表示材料用量越低。
綜上所述，如果我們以材料的用量來評價結構傳力效率（即荷載和邊界條件相同的情況下，材料用量少，結構效率高；材料用量多，結構效率低），那么“應變能”可以作為結構傳力效率的指標。
應變能作為結構傳力效率指標的前提條件
要得到上面的結論，須有以下兩條假定：
a）以上論斷都只有在應力不超過材料彈性極限，以及不考慮幾何非線性、穩定的前提下才能成立，也就是說，只適用于線彈性范圍之內。
b）因為推導中采用應力比λ表征了截面應力水平，所以以上結論僅在截面應力分布完全均勻（軸拉或軸壓）的情況下成立。
因為對于受軸力的構件，應力在截面上、軸力在桿件長度上都分布均勻。但是對于受彎構件，應力在截面上分布是不均勻的；而且在受橫向力彎曲時，彎矩沿桿件長度的分布也并不均勻。
對于實際工程，由于需要考慮的因素非常多（比如建筑的功能、美觀要求），結構工程師必須在某些地方進行妥協。怎樣達到綜合效益的最佳，本文不作討論。
應變能的概念分析
在式（5）的基礎上，進一步簡化公式。
假設結構的每一根桿件應力比均相同，即λ為定值。則式（5）可以簡化為下式。
由式(6)可知，應變能C與應力比的平方成正比,是一個標量。因此，計算應變能時，力流不區分拉力還是壓力，均為正。
由V=∑A×L（A為橫截面面積，L為桿件長度）可得：
假設桿件均在同一應力水平下（即應力比相同），則桿件的軸力與橫截面面積成正比：
將式(8)代入式(7)中，則：
假設R為一定值：
將式(10)代入式(9)中，則：
式（11）的物理意義為：一個結構的應變能與力流大小及力流走過的長度成正比。因此，傳力越直接，應變能越小。
所以，力沿剛度最大的路徑傳遞，而力沿最短路徑傳遞是最有效率的。
討論
示例1：有兩根相互鉸接的二力桿，兩端是鉸接支座，假設結構高度為H，H為常數，θ作為變量，中間受到一個豎直向下的集中力F作用，如圖1所示。
圖1 二力桿示例計算簡圖
結構應變能：
單根桿件軸力：
單根桿件變形：
整個結構應變能：
所以，θ=90°時，結構的應變能最小，即可認為此時結構效率最高。
示例2：有兩根相互鉸接的二力桿，兩端是鉸接支座，支座間距為2L，假設L為常數（示例1中H為常量），θ為變量，中間受到一個豎直向下的集中力F作用，如圖2所示。
圖2 二力桿示例計算簡圖
結構應變能：
單根桿件軸力：
單根桿件變形：
整個結構應變能：
通過Matlab可以求出上式的最小正值。
假設
可得，函數的極值點為x=0.9553，對應極值為f(x)=2.5981。函數圖形如圖3所示。
圖3 f(x)的函數圖形
綜上所述，θ=0.9553rad（54.762°）時，結構應變能取得最小值。結構效率是在θ=54.762°時最高。
那么問題來了，這是兩個形狀相同的結構，為什么根據應變能判斷的結構效率會不一樣？這個留給大家討論。下一篇小i會把自己的理解梳理出來，供大家討論。
概念性的小結
▲力沿剛度最大的路徑傳遞，但并不代表剛度最大的路徑結構效率最高。最短的路徑才是力流傳遞是最有效率的，材料是最省的。
▲應變能可以代表結構的材料用量，因此結構優化中可以將它作為優化指標。關于結構優化的內容在此不展開，會在以后的文章中論述。
結構優化解的多樣性
仍然使用經典二力桿案例進行分析。
示例：有兩根相互鉸接的二力桿，兩端是鉸接支座，支座間距為2L，假設L為常數，θ為變量，中間受到一個豎直向下的集中力F作用，如圖1所示。
圖1 二力桿示例計算簡圖
單根桿件軸力：
單根桿件變形：
整個結構應變能：
1）截面為常量，應力為變量
這個假定在上一篇示例中沒有明確，在此強調一下。如給您帶來困惑，表示歉意。則求解應變能的極值就是求解以下函數的極值：
以上函數的極值點為x=0.955，對應極值為f(x)=2.5981。
所以假設桿件截面不變，當θ=54.76°時，應變能最低，結構剛度最大。
2）應力為常量，截面為變量
假設應力為常量，那么截面積A就是一個隨θ變化的變量。
應變能的表達式就要改寫為如下：
由上式可知，應變能在θ=45°時最小。即控制桿件應力水平相同，當θ=45°時，應變能最低，結構材料用量最小。
3）H為常量，L為變量
上一篇示例1）中已有推導，在此僅給出結論。應變能的表達式如下：
可見，應變能在θ=90°時最小。所以，如果截面恒定，θ=90°時結構剛度最大；如果應力比恒定，θ=90°時材料用量最小。
以上都是以應變能為優化目標，但是當約束條件不同時，得到的結果不同。若進一步改變優化目標，看下優化的結果是什么？
4）截面不變，考慮壓桿穩定，以最大承載力為優化目標
首先歐拉公式為：
將桿件長度與L和θ的關系代入上式，可得：
進而可以得到外力F與θ的關系：
由上式可知，θ=35.26°時，相同的桿件截面可以承受最大的外力F。
可見，不同的約束條件、不同的優化目標，得到的結構形態都是不同的。小i在實際的優化實踐中覺得，假定截面為常量進行優化比較可行。
比如在進行形態優化時，將截面設定為常量將會減少非常多的優化變量，這樣僅需將優化變量設定為節點坐標，計算工作量大大下降。而這樣做可以得到一個相對較優的解。下圖即為采用該種方法進行形態優化的一個示例。
結構效率系數—結構效率的另一個指標
之前探討了應變能作為作為結構效率的評價指標，但是小i還想探討結構效率的另一個指標，我稱之為“結構效率系數”。這個指標的物理意義存疑，但小i仍覺值得討論。
如果我們將結構的傳力類比于“工作總量”和“工作時間”，我們是不是能夠將結構效率類比于“工作效率”呢？
“工作總量”——外力勢能(W)
我們將外力F與外力到傳力目的地的距離s的乘積定義為外力勢能W：
規定：支座位置為外力的勢能零點。
“結構的工作時間”——結構應變能(C)
在應力比水平相同的情況下，我們用應變能的大小反映結構傳遞外力所要耗費的材料。
“工作效率”——結構效率系數(μ)
結構效率系數=外力勢能/結構應變能
μ=W/C
基于此，再看以下示例：有兩根相互鉸接的二力桿，兩端是鉸接支座，支座間距為2L，假設L為常數，θ為變量，中間受到一個豎直向下的集中力F作用，如圖2所示。
圖2 二力桿示例計算簡圖
外力勢能：
結構應變能：
結構效率系數：
可見，不管是應力比為常量還是截面面積為常量，都是θ=90°時結構效率系數最高。
但是，θ=90°，外力勢能趨于無窮大，材料用量也趨于無窮大。
假設H為常量，L為變量
外力勢能：
W=FH（定值）
結構應變能：
結構效率系數：
由上式可得，θ=90°時，結構效率系數最大，同時，結構應變能最小。
可見，如果以“結構效率系數”為指標，則用應變能優化得到的不同解統一為一個解。關于這個指標中的“外力勢能”，小i解釋不清。對于一根懸臂梁，在自由端作用一個集中力，外力勢能應該是力與力臂的乘積。但通常我們認為，力與力臂的乘積是力矩。雖然小i知道，力矩是矢量、勢能是標量。但巧的是，他們的單位都是kN.m。所以，小i覺得這兩個物理量之間是不是統一的？但目前為止，還沒想通。如果您有想法，歡迎留言。
弗雷·奧托研究輕型結構時，也采用了類似的指標來研究結構的受力效率。他認為“力臂、力傳遞距離、輸送能力等專業名詞，他們有著相同的基本意義”。有興趣的朋友可以查閱《輕型建筑與自然設計—弗雷·奧托作品全集》。
小結
▲力沿剛度最大的路徑傳遞，但并不代表剛度最大的路徑結構效率最高。最短的路徑才是力流傳遞是最有效率的，材料是最省的或剛度是最大的。
▲應變能可以一定程度代表結構的材料用量和結構剛度，因此結構優化中可以將它作為優化指標，且建議實際優化中假定截面是不變的。
▲不同的約束條件、不同的優化目標所導致的優化結果可能不一樣。優化得到的解往往是一個相對優的解，而不是絕對最優解。
▲介紹了一個概念“結構效率系數”，這是一個有爭議的概念，且在結構設計中暫時看不到應用。
